複利の場合
V ( T ) = V 0 ⋅ ∏ i = 1 T N r i ( N ) = V 0 ⋅ ∏ i = 1 T N ( σ N ⋅ z i + m N + 1 ) V(T)=V_0\cdot\prod_{i=1}^{TN}r_i(N)=V_0\cdot\prod_{i=1}^{TN}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}{\cdot} z_i+\frac{m}{N}+1\right) V ( T ) = V 0 ⋅ ∏ i = 1 TN r i ( N ) = V 0 ⋅ ∏ i = 1 TN ( N σ ⋅ z i + N m + 1 )
となります。これが離散的な場合の結果であり、議論のスタート台となります。
こいつの連続極限を考えます。 知りたいことは、連続極限でV ( T ) V(T) V ( T )
具体的には、
といったことを調べます。
式(5)、、、掛け算のままだと取扱いが難しいので、両辺の対数をとりましょう。
ln V ( T ) = ln V 0 + ∑ i = 1 T N ln ( σ N ⋅ z i + m N + 1 ) {\ln}V(T)={\ln}V_0+\sum_{i=1}^{TN}\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}{\cdot}z_i+\frac{m}{N}+1\right) ln V ( T ) = ln V 0 + ∑ i = 1 TN ln ( N σ ⋅ z i + N m + 1 )
ここに伝家の宝刀、テイラー展開
ln ( x + 1 ) = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ \ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ln ( x + 1 ) = x − 2 x 2 + 3 x 3 − ⋯
を適用します。定石通り1次の項だけとると式(6)は、
ln V ( T ) = ln V 0 + ∑ i = 1 T N ( σ N ⋅ z i + m N ) {\ln}V(T)= {\ln}V_0+\sum_{i=1}^{TN}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}{\cdot}z_i+\frac{m}{N}\right) ln V ( T ) = ln V 0 + ∑ i = 1 TN ( N σ ⋅ z i + N m )
となって、これは正に単利の場合と同一の式でキレイに正規乱数の和に収束することが分かりました。
つまり ln V ( T ) {\ln}V(T) ln V ( T ) 正規分布 になることが判明しました（覚えていますか？正規乱数の和は正規乱数です）。
さてこれで
対数をとったヤツが正規分布になった⟶ \longrightarrow ⟶
という事実から連続極限で V ( T ) V(T) V ( T ) であると結論付けられました！
では平均と分散はどうなるでしょうか。
式(8)から、
E [ ln V ( T ) ] = ln V 0 + m T E\left[{\ln}V(T)\right]={\ln}V_0+mT E [ ln V ( T ) ] = ln V 0 + m T V [ ln V ( T ) ] = σ 2 T V\left[{\ln}V(T)\right]=\sigma^2 T V [ ln V ( T ) ] = σ 2 T
でメデタシメデタシ、、、としたいところですが、これが大間違い！ 。本記事の核心がここにあります。
話はテイラー展開 (7)にまで戻ります。
2次の項まで考えます。すると
ln V ( T ) = ln V 0 + ∑ i = 1 T N ( σ N ⋅ z i + m N ) − 1 2 ∑ i = 1 T N ( σ N ⋅ z i + m N ) 2 {\ln}V(T)={\ln}V_0+\sum_{i=1}^{TN}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}{\cdot}z_i+\frac{m}{N}\right)-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{TN}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}{\cdot}z_i+\frac{m}{N}\right)^2 ln V ( T ) = ln V 0 + i = 1 ∑ TN ( N σ ⋅ z i + N m ) − 2 1 i = 1 ∑ TN ( N σ ⋅ z i + N m ) 2 となります。
この式から平均を計算してみます。\
E [ ln V ( T ) ] = ln V 0 + m T − 1 2 ∑ i T N [ σ 2 N E ( z i 2 ) + 2 σ m N E ( z i ) + m 2 N 2 ] E\left[{\ln}V(T)\right]={\ln}V_0+mT-\frac{1}{2}\sum_{i}^{TN}\left[\frac{\sigma^2}{N}E(z_i^2)+2\sigma m\sqrt{N}E(z_i)+\frac{m^2}{N^2}\right] E [ ln V ( T ) ] = ln V 0 + m T − 2 1 i ∑ TN [ N σ 2 E ( z i 2 ) + 2 σm N E ( z i ) + N 2 m 2 ] となって、ここで E ( z i ) = 0 , E ( z i 2 ) = 1 E(z_i)=0,\;E(z_i^2)=1 E ( z i ) = 0 , E ( z i 2 ) = 1
E [ ln V ( T ) ] = ln V 0 + m T − σ 2 2 T − m 2 T 2 N E\left[{\ln}V(T)\right]={\ln}V_0+mT-\frac{\sigma^2}{2}T-\frac{m^2T}{2N} E [ ln V ( T ) ] = ln V 0 + m T − 2 σ 2 T − 2 N m 2 T となりま す。そして連続極限 N → ∞ N\rightarrow\infty N → ∞
E [ ln V ( T ) ] = ln V 0 + m T − σ 2 2 T E\left[{\ln}V(T)\right]={\ln}V_0+mT-\frac{\sigma^2}{2}T E [ ln V ( T ) ] = ln V 0 + m T − 2 σ 2 T が得られます。気が付きましたか？テーラー展開の2次の近似項から N N N
分散も同じ要領で計算してみると、こちらは2次の近似項は N → ∞ N\rightarrow\infty N → ∞
V [ ln V ( T ) ] = σ 2 T V\left[\ln V(T)\right]=\sigma^2 T V [ ln V ( T ) ] = σ 2 T です。
以上まとめると、 V ( T ) V(T) V ( T ) ln V ( T ) {\ln}V(T) ln V ( T )
ln V ( T ) ∼ N ( ln V 0 + m T − σ 2 2 T , σ 2 T ) {\ln}V(T){\sim} N\left({\ln}V_0+mT-\frac{\sigma^2}{2}T,\sigma^2T\right) ln V ( T ) ∼ N ( ln V 0 + m T − 2 σ 2 T , σ 2 T ) となります。
標準正規分布に従う確率変数 Z Z Z
V ( T ) = V 0 exp [ σ T Z + ( m − σ 2 2 ) T ] V(T)=V_0\exp\left[\sigma\sqrt{T}Z+\left(m-\frac{\sigma^2}{2}\right)T\right] V ( T ) = V 0 exp [ σ T Z + ( m − 2 σ 2 ) T ] と書き下せます。
最後にもう一言
ln V ( T ) {\ln}V(T) ln V ( T ) ( m − σ 2 2 ) T \left(m-\frac{\sigma^2}{2}\right)T ( m − 2 σ 2 ) T V ( T ) V(T) V ( T )
対数正規分布の公式 から、
E [ V ( T ) ] = V 0 exp ( m T ) E\left[V(T)\right]=V_0\exp(mT) E [ V ( T ) ] = V 0 exp ( m T ) が得られます。どうですか？実に合理的な答えになっていると思いませんか？（その1 の式(3)と 比較してみてください）。
長くなりましたが、あのキモチワルイ − σ 2 2 -\frac{\sigma^2}{2} − 2 σ 2
