メルセンヌ素数

確率のネタではないですが、小話をひとつ

NtRandでは"Mersenne-Twister"と呼ばれる一様乱数生成アルゴリズムが採用されています。 このアルゴリズムで生成される乱数は$2^{19937}-1$、実に6002桁という途方もない長い周期をもっています。

さて、この数は"メルセンヌ素数"と呼ばれる一群の数字のうちの一つで、これが"Mersenne-Twister"の語源になっています。

メルセンヌ素数とは、素数のうちで$2^{n}-1$という形で書けるもののことです。 つまりMarsenne-Twisterの周期は$n=19937$のメルセンヌ素数です。 2001年5月現在、メルセンヌ素数は47個見つかっています。$n=19937$のメルセンヌ素数は24番目のものです。

1644年、マラン・メルセンヌさんが $n=2,3,5,7,13,17,19,67,127,257$がメルセンヌ素数であると主張しました。 残念なことに彼は$n=61,89,107$を見逃していました。

更に残念なことに、、、

1903年、アメリカで行われた数学会でフランク・ネルソン・コールなる人物が発表のため登壇しました。タイトルは「大きな数の素因数分解」。

彼はまず黒板に$2^{67}$を書き下しました。

$$2^{67}=147,573,952,589,676,412,928$$

そこから1を引き、そして次に

$$193,707,721\times761,838,257,287$$

の計算を行いました。その結果は、、、$147,573,952,589,676,412,927$! その間彼は一言も口をきかず、静かに席に戻りました。その後会場は万雷の拍手が沸いたそうです。

メルセンヌさんの主張から250年以上経って、$2^{67}-1$が素数でないことが分かったのです。

今では$n=127$も素数ではないことが分かっています。