-σ^2 / 2 の真実に迫る – その2

発生する金利の利率が乱数だったらどうなるか？さすがに何の仮定もないと話が進まないので、

金利（年率）は、平均$m$、標準偏差$\sigma$の正規乱数

という場合を論じましょう。

第$i$回目の利払金利（年率）は、

$r_i= {\sigma}z_i+m$   ---(4)

と与えられます（ここで $z_i$は標準正規乱数）。

式(4)は年率なので、半期分、つまり年2回の利払いがある場合の各回の利率は、

$$r_i(2)=\frac{\sigma}{\sqrt{2}}{\cdot}{z_i}+\frac{m}{2}$$

と与えられます。一般に年$N$回の利払いがある場合の各回の利率は、

$$r_i(N)=\frac{\sigma}{\sqrt{N}}{\cdot}{z_i}+\frac{m}{N}$$

となります。

単利の場合

$$V(T)=V_0+\sum_{i=1}^{TN}r_i(N)=V_0\cdot\left[1+\sum_{i=1}^{TN}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}{\cdot}{z_i}+\frac{m}{N}\right)\right]$$

となります。

ここで「正規乱数の和は正規乱数になる」という、もはや犬でも知っている事実から、 $V(T)$も正規乱数であることが分かります。

分布の特徴は以下の通り。

• 平均：

  $$E[V(T)]=V_0+\sum_{i}^{TN}\frac{m}{N}=V_0+mT$$

• 分散：

  $$V[V(T)]=\frac{\sigma^2}{N}\cdot\sum_{i=1}^{TN}V[z_i]=\sigma^2 T$$

以上より、

$$V(T){\sim}{N}(V_0+mT,\sigma^2T)$$

という分布になることが判明しました。

金利が毎回変わったとしても、この式中に年間利払回数$N$が含まれないので、連続極限でも同一の結果（分布）になることがすぐに分かります。

さて次は複利の場合ですが、、、これがチトややこしいので、その3に続く