ガンベル（タイプ2）分布(Gumbel type II distribution)

分布の形状

基本情報

• 2つのパラメータ $a, b$ が必要です.

  $$a>0, b>0$$

• 半無限区間 $x > 0$ で定義された連続分布です。

• 平均対して常に非対称です。

確率

• 累積分布関数

  $$F(x)=\exp\left(-bx^{-a}\right)$$

• 確率密度関数

  $$f(x)=abx^{-a-1}\exp\left(-bx^{-a}\right)$$

• Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方

	A	B
1	データ	説明
2	0.5	対象となる値
3	8	分布のパラメータ A の値
4	2	分布のパラメータ B の値
5	数式	説明（計算結果）
6	=EXP(-A4*A2^(-A3))	上のデータに対する累積分布関数の値
7	=A3*A4*A2^(-A3-1)*EXP(-A4*A2^(-A3))	上のデータに対する確率密度関数の値

分位点

• 累積分布関数の逆関数

  $$F^{-1}(P)=\left(-\frac{\ln P}{b}\right)^{-1/a}$$

• Excel での分位点の求め方

	A	B
1	データ	説明
2	0.7	この分布の確率
3	1.7	分布のパラメータ A の値
4	0.9	分布のパラメータ B の値
5	数式	説明（計算結果）
6	=POWER(-LN(A2)/A4,-1/A3)	上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

乱数

• 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :

  $$x=\left(-\frac{\ln U}{b}\right)^{-1/a}$$

• Excel での乱数生成法

	A	B
1	データ	説明
2	0.5	分布のパラメータ A の値
3	2	分布のパラメータ B の値
4	数式	説明（計算結果）
5	=POWER(-A2*LN(-NTRAND(100)/A3),1/A2)	100個のガンベル（タイプ2）乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A5:A104 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

参照

• Wikipedia -- Gumbel (Type II) distribution
• Statistics Online Computational Resource
• Meteorology, Seismology : Model of extreme event (Extreme value theory)
• Risk management -- Operational risk