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ジョンソン SB 分布(Johnson SB distribution)

分布の形状​

基本情報​

  • 4つのパラメータ γ,δ,λ,ξ\gamma, \delta,\lambda,\xi が必要です.

    δ>0,λ>0\delta>0,\lambda>0

  • 有限区間 ξ≤x≤ξ+λ\xi\leq x \leq \xi+\lambda で定義された連続分布です。

  • 平均対して対称にも非対称にもなり得ます。

確率​

  • 累積分布関数

    F(x)=Φ(γ+δln⁡z1−z)F(x)=\Phi\left(\gamma+\delta\ln\frac{z}{1-z}\right)

    ここで

    z=x−ξλz=\frac{x-\xi}{\lambda}

    で、 Φ(⋅)\Phi(\cdot) は 標準正規分布の累積分布関数です。

  • 確率密度関数

    f(x)=δλ2πz(1−z)exp⁡[−12(γ+δln⁡z1−z)2]f(x)=\frac{\delta}{\lambda\sqrt{2\pi}z(1-z)}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\gamma+\delta\ln\frac{z}{1-z}\right)^2\right]

  • Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方

AB
1データ説明
20.5対象となる値
38分布のパラメータ Gamma の値
42分布のパラメータ Delta の値
52分布のパラメータ Lambda の値
62分布のパラメータ Xi の値
7=(A2-A5)/A4Standardized variable z
8数式説明（計算結果）
9=NORMSDIST(A3+A4*LN(A7/(1-A7)))上のデータに対する累積分布関数の値
10=A4*EXP(-0.5*(A3+A4*LN(A7/(1-A7)))^2)/(SQRT(2*PI())*A5*A7*(1-A7))上のデータに対する確率密度関数の値

分位点​

  • 累積分布関数の逆関数

    F−1(P)=λexp⁡(Φ−1(P)−γδ)1+exp⁡(Φ−1(P)−γδ)+ξF^{-1}(P)=\frac{\lambda\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(P)-\gamma}{\delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(P)-\gamma}{\delta}\right)}+\xi

    ここで Φ(⋅)\Phi(\cdot) は標準正規分布の累積分布関数です。

  • Excel での分位点の求め方

AB
1データ説明
20.5この分布の確率
31.7分布のパラメータ Gamma の値
40.9分布のパラメータ Delta の値
50.9分布のパラメータ Lambda の値
60.9分布のパラメータ Xi の値
7数式説明（計算結果）
8=A5*EXP((NORMSINV(A2)-A3)/A4)/(1+EXP((NORMSINV(A2)-A3)/A4))+A6上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

乱数​

  • 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :

    x=λexp⁡(Φ−1(U)−γδ)1+exp⁡(Φ−1(U)−γδ)+ξx=\frac{\lambda\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(U)-\gamma}{\delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(U)-\gamma}{\delta}\right)}+\xi

  • Excel での乱数生成法

AB
1データ説明
20.5分布のパラメータ Gamma の値
30.5分布のパラメータ Delta の値
40.5分布のパラメータ Lambda の値
50.5分布のパラメータ Xi の値
6数式説明（計算結果）
7=A4*EXP((NORMSINV(NTRAND(100))-A2)/A3)/(1+EXP((NORMSINV(NTRAND(100))-A2)/A3))+A5100個のジョンソン SB 乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A7:A106 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

参照​