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一様分布（離散）(Discrete uniform distribution)

ギャンブルに勝つ！一様分布（離散）​

どの教科書でもまず間違いなく最初に挙げる確率の事例といえば、やっぱりサイコロじゃないでしょうか（ベルヌーイ分布よりも確率っぽい）。
6面体のサイコロをふって、1の出る確率は？じゃあ偶数の出る確率は？などなど聞き覚えがあるでしょう。
ここで現れる重要なキーワードは「同様に確からしい」。 つまり、1が出る確率も6が出る確率も同じということ。したがって、どの目が出る確率もみんな 1/6 となるのです（確率を全部足したら 1 にならないといけないからね）。これこそが一様分布の一様（全て同じ）たる所以ですね。
グラフにするとこんな感じ。

例えば、ルーレットも代表的な一様分布の事例。みんな知っている通り、円盤の円周を等間隔に区切って、転がしたボールがどの区間に落ちるかを当てるゲームですね。 この場合も、どの目が出るか（どこにボールが落ちるか）は「同様に確からしい」ので、一様分布になります。
ちなみに、実際のルーレットの区画の数は 37（ヨーロピアンスタイル）、38（アメリカンスタイル）、39（メキシカンスタイル）の3種類あったりします。ちょっと得したでしょ？

サイコロにしても、ルーレットにしても確率的に発生する事象は番号がつけられます（サイコロなら目そのもの。ルーレットなら、適当な区画から順に番号をつければいいですね）。 また、必ず上限と下限があります。番号の最小値をa、最大値をbとすると、どの目が出る確率も、

1b−a+1\frac{1}{b-a+1}

となります（分母の +1 に注意！植木算をがんばって思い出してください）。サイコロならば a=1,;b=6a=1,;b=6 ですね。

特別な条件下の一様分布には特別な名前が付いているものです。

  • 公正なコイン（裏表のどちらが出るかが同様に確からしいコイン）を使ったコイントスで、表を 1、裏を 0 としたもの。これは成功確率が0.5のベルヌーイ分布と一致します。

  • 目が1つしかない場合（2枚のコインを張り合わせて、両面表にしたコインでの表の出る確率）も考えられます（いや、面白いかじゃなくてあくまで可能性ですから！）。この分布は退化分布と呼ばれています。

もうひとつの特別な状況が連続極限で、その場合は一様分布（連続）となります。

分布の形状​

基本情報​

  • 2つのパラメータ a,ba,b が必要です。

    a<ba <b

    これらのパラメータはそれぞれ、分布の最小値と最大値を表します。

  • 整数 x=a,a+1,⋯ ,bx={a, a+1, \cdots, b} で定義された離散分布です。

確率​

  • 累積分布関数

    F(x)={0(x<a)x−a+1b−a+1(x={a,a+1,⋯ ,b})1(x>b)F(x)=\begin{cases}0&(x<a)\\\frac{x-a+1}{b-a+1}&(x=\{a,a+1,\cdots,b\})\\1&(x>b)\end{cases}

  • 確率質量関数

    f(x)={1b−a+1(x={a,a+1,⋯ ,b})0(otherwise)f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a+1}&(x=\{a,a+1,\cdots,b\})\\0&(\text{otherwise})\end{cases}

  • Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率質量関数 (p.m.f.)の求め方

AB
1データ説明
23対象となる値
31分布のパラメータ A の値
46分布のパラメータ B の値
5数式説明（計算結果）
6=IF(A2<A3,0,IF(A2<=A4, (A2-A3+1)/(A4-A3+1),1))上のデータに対する累積分布関数の値
7=IF(AND(A3<=A2,A2<=A4),1/(A4-A3+1), 0)上のデータに対する確率質量関数の値

分布の特徴​

平均 -- 分布の"中心"はどこ？ (定義)​

  • 分布の平均 は次式で与えられます。

    a+b2\frac{a+b}{2}

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
21分布のパラメータ A の値
36分布のパラメータ B の値
4数式説明（計算結果）
5=(A2+A3)/2上のデータに対する分布の平均

標準偏差 -- 分布はどのくらい広がっているか（定義）​

  • 分布の分散 は次式で与えられます。

    (b−a+1)2−112\frac{(b-a+1)^2-1}{12}

    標準偏差 は 分散の正の平方根です。

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
21分布のパラメータ A の値
36分布のパラメータ B の値
4数式説明（計算結果）
5=SQRT(((A3-A2+1)^2-1)/12)上のデータに対する分布の標準偏差

歪度 -- 分布はどちらに偏っているか(定義)​

  • 分布の歪度 は 00 です。

尖度 -- 尖っているか丸まっているか (定義)​

  • 分布の尖度 は次式で与えられます。

    −6((b−a+1)2+15((b−a+1)2−1-\frac{6((b-a+1)^2+1}{5((b-a+1)^2-1}

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
21分布のパラメータ A の値
36分布のパラメータ B の値
4数式説明（計算結果）
5=-6*((A3-A2+1)^2+1)/(5*((A3-A2+1)^2-1))上のデータに対する分布の尖度

乱数​

  • Excel での乱数生成法
AB
1データ説明
21分布のパラメータ A の値
36分布のパラメータ B の値
4数式説明（計算結果）
5=INT((A3-A2+1)*NTRAND(100))+A2100個の一様乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A5:A104 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

参照​