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クマラスワミー分布(Kumaraswamy distribution)

シンプルな単峰分布三角分布​

代用品としてのクマラスワミー分布​

三角分布の項で説明したように、有限区間の単峰分布として、ベータ分布やジョンソン SB 分布が挙げられるが、これらの分布は関数が複雑で手に余る。 そこでシンプルな三角分布の登場となるが、さすがに三角形で分布をフィットするのはどうも。。。そこで、もう少し調整の利くシンプルな分布が切望されるが、その特徴を兼ね備えた分布がクマラスワミー分布である。

分布の形状​

基本情報​

  • 2つのパラメータ a,ba, b が必要です.
  • 有限区間 0≤x≤10\leq x \leq 1 で定義された連続分布です。
  • 平均対して対称にも非対称にもなり得ます。

確率​

AB
1データ説明
20.5対象となる値
38分布のパラメータ A の値
42分布のパラメータ B の値
5数式説明（計算結果）
6=1-(1-A2^A3)^A4上のデータに対する累積分布関数の値
7=A3*A4*A2^(A2-1)*(1-A2^A3)^(A4-1)上のデータに対する確率密度関数の値

分位点​

  • 累積分布関数の逆関数

    F−1(P)=[1−(1−P)1/b]1/aF^{-1}(P)=\left[1-(1-P)^{1/b}\right]^{1/a}

  • Excel での分位点の求め方

AB
1データ説明
20.5上のデータに対する確率密度関数の値
31.7分布のパラメータ A の値
40.9分布のパラメータ B の値
5数式説明（計算結果）
6=POWER(1-(1-A2)^(1/A4),1/A3)上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

分布の特徴​

平均 -- 分布の"中心"はどこ？ (定義)​

  • Mean

    bB(1+1a,b)bB\left(1+\frac{1}{a},b\right)

  • Excel での計算法

AB
1データ説明
28分布のパラメータ A の値
32分布のパラメータ B の値
4数式説明（計算結果）
5=A3*EXP(GAMMALN(1+1/A2)+GAMMALN(A3)-GAMMALN(1+1/A2+A3))上のデータに対する分布の平均

乱数​

  • 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :

    x=[1−(1−U)1/b]1/ax=\left[1-\left(1-U\right)^{1/b}\right]^{1/a}

  • Excel での乱数生成法

AB
1データ説明
20.5分布のパラメータ A の値
30.5分布のパラメータ B の値
4数式説明（計算結果）
5=POWER(1-(1-NTRAND(100))^(1/A3),1/A2)100個のクマラスワミー乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A5:A104 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

参照​